El Conjunto de los Números Naturales y sus propiedades

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PREGUNTA: 

¿Cuántos son los conjuntos de números naturales consecutivos que suman 100?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Dificultad: 
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Propuesta de Solución

Debemos buscar un grupo de números consecutivos y naturales, Sabemos que el conjunto de los números naturales se pude representar mediante un rayo, donde el número menor de todos es el 1. 

Al representar un número natural simbólicamente con la letra "n", podemos establecer que su sucesor corresponde a "n+1", y que además, si n es par el sucesor debe ser impar o viceversa.Luego usamos una representación algebraica que cumpla matemáticamente con lo indicado en la pregunta.

Iniciamos el análisis considerando un subconjunto de los naturales compuesto por 2 números naturales consecutivos que suman 100.

n + (n+1)=100

2n + 1 = 100

2n = 99

Luego el valor de "n" no es natural, dado que 99 es un número impar y no es divisible por 2.


Ahora considerando 3 números naturales consecutivos que suman 100.

(2n+1) +  (n+2) = 100

3n + 3 = 100

3n = 97

Luego el valor de "n" no es natural dado que 97 es un número primo y no es divisble por 3.


Considerando 4 números naturales consecutivos que suman 100.

(3n+3) + (n+3) = 100

4n + 6 = 100

4n = 94

2n = 47

Luego el valor de "n" no es natural, dado que 99 es un número impar y no es divisible por 2.


Considerando 5 números naturales consecutivos que suman 100.

(4n+6) + (n+4) = 100

5n + 10 = 100

5n = 90

n = 18
 

Aquí hemos encontrado el primer valor de n natural que cumple con la igualdad matemática expresada en el enunciado. Los 5 números que integran el subconjunto de los números naturales que sumados resulatan cien son: 18, 19, 20, 21, 22.


Continuamos, esta vez considerando los 6 números naturales consecutivos que suman 100.

(5n+10) + (n+5) = 100

6n + 15 = 100

6n = 85

Vemos que 85 nos es divisible por 2 y tampoco es divisible por 3, por tanto no es divisble por 6. De este modo n no es natural.


Considerando 7 números naturales consecutivos que suman 100.

(6n+15) + (n+6) = 100

7n + 21 = 100

7n = 79

De este modo n no es natural, dado que 79 no es multiplo de 7.


Considerando 8 números naturales consecutivos que suman 100.

(7n+21) + (n+7) = 100

8n + 28 = 100

8n = 72 

n = 9

Aquí hemos encontrado el segundo valor de n natural que cumple con la igualdad matemática expresada en el enunciado. Los 8 números que integran el subconjunto de los números naturales que sumados resulatan cien son: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.


Considerando 9 números naturales consecutivos que suman 100.

(8n+28) + (n+8) = 100

9n + 36 = 100

9n = 64

De este modo n no es natural, dado que 64 no es multiplo de 9.

Considerando 10 números naturales consecutivos que suman 100.

(9n+36) + (n+9) = 100

10n + 45 = 100

10n = 55

De este modo n no es natural, dado que 55 no es multiplo de 10.

Considerando 11 números naturales consecutivos que suman 100.

(10n+45) + (n+10) = 100

11n + 55 = 100

11n = 45

De este modo n no es natural, dado que 45 no es multiplo de 11.

Considerando 12 números naturales consecutivos que suman 100.

(11n+55) + (n+11) = 100

12n + 66 = 100

12n = 34

De este modo n no es natural, dado que 34 no es múltiplo de 12.

Considerando 13 números naturales consecutivos que suman 100.

(12n+66) + (n+12) = 100

13n + 78 = 100

13n = 22

De este modo n no es natural, dado que 22 no es multiplo de 13.

Considerando 14 números naturales consecutivos que suman 100.

(13n+78)+ (n+13) = 100

14n + 91 = 100

14n = 9

De este modo n no es natural, dado que 9 es menor que 14 y ambos valores formarían una fracción propia, por tanto con valor numérico menor que 1.

Finalmente cualquier otro conjunto con más de 14 elementos resulataría una valor racional menor que 1.

Finalmente son sólo 2 los conjuntos numéricos que se pueden formar con números naturales consecutivos que sumados todos estos den como resultado 100. La respuesta correcta es la alternativa b)

Eje Temático: 
Números
Estado de la publicación: 
Preliminar