Comparar potencias con bases diferentes y distinto exponente

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PREGUNTA: 

Ordene de mayor a menor las siguientes potencias 3^550; 2^620;4^600

  • Clases de matematica en concepción - Preuniversitario en concepción - Comparación de potencias
Dificultad: 
5
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Propuesta de Solución

Para poder ordenar las potencias, será necesario demostrar el orden que tienen entre sí, es decir:

1) 2^{620} < 4^{600}

2) 3^{550} < 4^{600}

3) 2^{620} < 3^{550}

Iremos por partes:

Parte 1)

2^{620} = 2^{2*310} = (2^{2})^{310}= 4^{310}

lo que nos da que: 2^{620} = 4^{310} < 4^{600}

Por lo tanto: 2^{620} < 4^{600}

Parte 2)

3< 4

luego: 3^{550} < 4^{550}

Por lo tanto: 3^{550} < 4^{600}

Parte 3)

Queremos demostrar que:  2^{620} < 3^{550}

Para ello no solo usaremos las propiedades de las potencias, si no que tambien la comparación directa.

Si comparamos los valores de las potencias de 2 y las 3 observaremos lo siguiente:

Exponente 1 2 3 4 5 6 7 8
2 2 4 8 16 32 64 128 256
3 3 9 27 81 343  1029 3087 9261

De donde se vee claramente que 2^8< 3^5

Luego tenemos que:

3^{550}=3^{5*110}=(3^5)^{110}

luego: 

(3^5)^{110}> (2^8)^{110} = 2^{880} > 2^{620}

Por lo tanto:

2^{620} < 3^{550}

Finalmente podemos concluir lo siguiente:

Ordenadas de mayor a menor las potencias 3^550; 2^620;4^600 quedarían de la siguiente forma:

4^{600}> 3^{550}> 2^{620}

 

Eje Temático: 
Números